LA PLANETE R VOYAGE AU PAYS DES NOMBRES REELS AVEC EXERCICES CORRIGES

BROUZET

Cet ouvrage explore la "planète" R, ensemble des nombres réels, en
décrivant de façon élémentaire et imagée ses habitants et leurs
propriétés. De nombreux exemples remarquables du point de vue
arithmétique ou topologique sont présentés. Les thèmes sont abordés
comme s'il s'agissait d'histoires courtes, indépendantes les unes des
autres. Un index détaillé permet de naviguer d'un sujet à l'autre. Les
démonstrations, classiques ou originales, sont élégantes sans être trop
approfondies, compte tenu du public visé. Elles sont parfois illustrées
par des exercices dont les corrrections sont données en fin d'ouvrage.

Sommaire :
Aspect arithmétique. La découverte de Pythagore. Euler et
l'irrationalité de e. Le théorème de Lambert. Le théorème d'Hermite. Le
théorème de Lindemann. Euler et la fonction Zêta de Riemann. Théorèmes
et nombres de Liouville. Trois problèmes célèbres. Les nombres
constructibles. Transcendance de ea où a est algébrique non nul.
Constructions, architecture et représentations. Les réels tels qu'on les
rêve... Les réels existent : les coupures de Dedekind. Les réels
existent : les suites de Cauchy. Unicité de R. Topologie de l'ensemble
des réels. Le cardinal de l'ensemble des réels. Représentation des réels
: écriture dans une base. Les fractions continues. Quelques
sous-ensembles remarquables de R : Les parties connexes et la propriété
de la valeur intermédiaire. Le théorème de Cantor sur l'ordre des
rationnels. Les parfaits de R et le théorème de Cantor-Bendixon. Les
sous-groupes additifs de R. De Jordan à Lebesgue : longueur d'une partie
de R. L'ensemble de Cantor. Espaces compacts et ensemble de Cantor. Une
caractérisation des segments. Parties de R de première et de seconde
catégories de Baire. Quelques bases utiles. Rudiments de théorie des
ensembles. Rudiments de topologie générale. Vocabulaire de l'algèbre
générale.

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